Pemecahan Masalah dalam Matematika

Banyak orang yang keliru dalam belajar matematika terutama penyelesaian masalah (problem solving). Polya (1985) telah menjelaskan tentang langkah-langkah penyelesaian masalah yang heuristik. Dia menyatakan lima langkah dalam penyelesaian masalah yaitu, 1) pahami masalah dan jika perlu nyatakan dalam bentuk yang sederhana, 2), buat dugaan, 3) buat rencana penyelesian, 4) buat penyelesian sesuai rencana, dan 5) periksa kembali. Tetapi sebagian besar siswa apabila sudah dihadapkan dengan masalah, mereka lupa dengan langkah-langkah ini.
Sebagai hontoh:
Hitung akar dari (1 + 2009 x 2010 x 2011 x 2012), kemudian buktikan secara aljabar.
Berdasarkan pengalaman memeriksa hasil pekerjaan siswa, bahwa siswa langsung saja menghitung akarnya, bahkan mengunakan kalkulator. Pada hal, jika siswa sedikit teliti, maka dia dapat menyelesaikan ini tanpa bantuan alat hitung.
Berdasarkan langkah-langkah Polya tadi, maka dari soal di atas kita dapat menyederhanakan bentuknya menjadi:
1. Akar dari (1 + 1 x 2 x 3 x 4) = akar (1 + 24) = akar( 25) = 5
2. Akar dari (1 + 2 x 3 x 4 x 5) = akar (1 + 120) = akar (121) = 11
3. Akar dari (1 + 3 x 4 x 5 x 6) = akar (1 + 360) = akar (361) = 19
dan seterusnya.
Jika kita amati hasil-hasil ini, kita dapat menduga bahwa hasilnya adalah sebuah bilangan bulat tanpa tanda akar.
Coba kita perhatikan lebih seksama:
1. Angka 5 diperoleh dari hasil perkalian 1 x 4 + 1.
2. Angka 11 diperoleh dari 2 x 5 + 1
3. Angka 19 diperoleh dari 3 x 6 + 1
dan seterusnya.
Jadi patut diduga bahwa hasilnya merupakan perkalian bilngan pertama dengan bilangan ke empat dan ditambah 1.
Mari kita buktikan secara aljabar
Misal a = 2009, a + 1 = 2001, a + 2 = 2011, dan a + 3 = 2012.
Maka 1 + a (a + 1)(a+2)(a+3) = 1 + a(a + 3)(a^2 + 3a + 2)
= 1 + a(a + 3) (a(a + 3) + 2) (disesuaikan bentuknya)
= 1 + p (p + 2) dimana p = a(a + 3)
= p^2 + 2p + 1
= (p + 1)^2
Jadi akar dari (p + 1)^2 = p + 1, dimana p = a (a + 3)
Kembali ke soal, maka akar dari (1 + 2009 x 2010 x 2011 x 2012) = 1 + 2009 x 2012.
Tidak perlu dicari hasilnya, karena orang sudah tahu, bahwa bentuk akarnya sudah hilang.